Symmetry properties of the Novelli-Pak-Stoyanovskii algorithm

The number of standard Young tableaux of a fixed shape is famously given by the hook-length formula due to Frame, Robinson and Thrall. A bijective proof of Novelli, Pak and Stoyanovskii relies on a sorting algorithm akin to jeu-de-taquin which transforms an arbitrary filling of a partition into a standard Young tableau by exchanging adjacent entries. Recently, Krattenthaler and Müller defined the complexity of this algorithm as the average number of performed exchanges, and Neumann and the author proved it fulfils some nice symmetry properties. In this paper we recall and extend the previous results and provide new bijective proofs. Résumé. Le nombre de tableaux de Young standards de forme fixée est donné par la formule des équerres bien connue, due à Frame, Robinson et Thrall. Une preuve bijective de Novelli, Pak et Stoyanovskii repose sur un algorithme de tri analogue au jeu de taquin, qui transforme un remplissage arbitraire d’une partition en un tableau de Young standard en échangeant des entrées adjacentes. Récemment, Krattenthaler et Müller ont défini la complexité de cet algorithme par le nombre moyen d’échanges effectués, et Neumann et l’auteur ont prouvé que celle-ci satisfait de belles propriétés de symétries. Dans cet article nous rappelons et étendons les résultats précédents, et nous fournissons de nouvelles preuves bijectives.